Cho $\cos x=\frac{1}{5},\frac{\pi }{2}<x<\pi$. Tính $\sin \frac{x}{2}$, $\cos \frac{x}{2}$, $\tan \frac{x}{2}$, $\cot \frac{x}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\frac{\pi }{4}<\frac{x}{2}<\frac{\pi }{2}$, do đó $\sin \frac{x}{2}>0$, $\cos \frac{x}{2}>0$.

Ta có $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ (vì $\sin x>0$ khi $x$ thuộc góc phần tư thứ hai).

Áp dụng công thức nửa cung:
$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$$
$$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$$
$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$
$$\cot \frac{x}{2}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Kiểm tra: $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ — khớp kết quả trên.