Chọn ngẫu nhiên $2$ số phân biệt bất kì trong $15$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất chọn được $2$ số có một số chẵn, một số lẻ và tích đó chia hết cho $3$ bằng

Tập hợp 15 số nguyên dương đầu tiên là $S=\{1,2,\dots ,15\}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{15}^2=105$.
Trong $S$ có:
- 7 số chẵn: $\{2,4,6,8,10,12,14\}$, trong đó có 2 số chia hết cho 3 là $\{6,12\}$ và 5 số không chia hết cho 3 là $\{2,4,8,10,14\}$.
- 8 số lẻ: $\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$, trong đó có 3 số chia hết cho 3 là $\{3,9,15\}$ và 5 số không chia hết cho 3 là $\{1,5,7,11,13\}$.
Để tích 2 số (1 chẵn, 1 lẻ) chia hết cho 3, ít nhất một trong 2 số phải chia hết cho 3:
- TH1: Số chẵn chia hết cho 3 (chọn từ $\{6,12\}$ có 2 cách), số lẻ tùy ý trong 8 số lẻ $\Rightarrow 2\times 8=16$ cách.
- TH2: Số chẵn không chia hết cho 3 (5 cách), số lẻ chia hết cho 3 (chọn từ $\{3,9,15\}$ có 3 cách) $\Rightarrow 5\times 3=15$ cách.
Số kết quả thuận lợi là $n(A)=16+15=31$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{31}{105}$. Chọn D.