Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{x+y}{x^2+y^2+2}\right)\ge x(x-4)+y(y-4)$?

Chọn C.

Bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x+y)-{\log }_2(x^2+y^2+2)\ge x^2+y^2-4(x+y)$
$\iff {\log }_2(4(x+y))+4(x+y)\ge {\log }_2(x^2+y^2+2)+(x^2+y^2+2)$.
Xét hàm số đại diện $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên $(0;+\infty )$, hàm số luôn đồng biến.
Do đó bất phương trình tương đương:
$4(x+y)\ge x^2+y^2+2\iff (x-2{)}^2+(y-2{)}^2\le 6$.
Vì $x,y$ là các số nguyên dương ($x,y\in \{1,2,3,4\}$), thử các cặp ta nhận được đúng 15 cặp:
$(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)$.
Có tất cả 15 cặp số nguyên dương thỏa mãn.