Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$, với $x\le 2023$ thỏa mãn bất phương trình $4\cdot 2^{\frac{{\log }_{2}x+3y}{4}}\ge x+3\cdot 2^y$?

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương $x,2^y,2^y,2^y$: $x+3\cdot 2^y=x+2^y+2^y+2^y\ge 4\sqrt[4]{x\cdot (2^y{)}^3}=4\sqrt[4]{2^{{\log }_{2}x+3y}}=4\cdot 2^{\frac{{\log }_{2}x+3y}{4}}$. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $x=2^y$. Do $(x;y)$ nguyên dương và $x\le 2023$, ta có $2^y\le 2023\Rightarrow 1\le y\le 10$. Có 10 cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn D.