Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 4000$ và $5(25^y+2y)=x+{\log }_5(x+1{)}^5-4$?

Phương trình tương đương: $5^{2y+1}+5(2y+1)=x+1+5{\log }_5(x+1)$. Đặt $t={\log }_5(x+1)\Rightarrow x+1=5^t$. Phương trình trở thành: $5^{2y+1}+5(2y+1)=5^t+5t$. Xét hàm số đặc trưng $f(u)=5^u+5u$, hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $t=2y+1\iff {\log }_5(x+1)=2y+1\iff x+1=5^{2y+1}\iff x=5^{2y+1}-1$. Với điều kiện $0\le x\le 4000$: $0\le 5^{2y+1}-1\le 4000\iff 1\le 5^{2y+1}\le 4001\iff 0\le 2y+1\le {\log }_{5}4001\approx 5.15$. Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $2y+1\in \{1,3,5\}\Rightarrow y\in \{0,1,2\}$. Ứng với mỗi $y$ ta có đúng 1 giá trị $x$ nguyên tương ứng. Vậy có 3 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn. Chọn D.