Cho đồ thị $(C):y=\frac{x+2}{x-1}$. Gọi $A,B,C$ là ba điểm phân biệt thuộc $(C)$ sao cho trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $\Delta :y=-3x+10$. Độ dài đoạn thẳng $OH$ bằng:

Một tính chất hình học giải tích nổi tiếng đối với hàm phân thức hyperbol vuông góc $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là: nếu ba điểm $A,B,C$ thuộc đồ thị thì trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cũng thuộc đồ thị $(C)$. Do đó tọa độ $H(x;y)$ là giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $\Delta :y=-3x+10$. Ta có phương trình: $\frac{x+2}{x-1}=-3x+10\iff x+2=(-3x+10)(x-1)\iff -3x^2+13x-10=x+2\iff 3x^2-12x+12=0\iff 3(x-2{)}^2=0\iff x=2$. Với $x=2\Rightarrow y=4$. Do đó trực tâm là $H(2;4)$. Khoảng cách $OH=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Chọn B.