Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $(AC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng:

Giao tuyến của $(AC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $AC$. Gọi $O=AC\cap BD$. Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, $DO\perp AC$. Vì $D^{\prime }D\perp (ABCD)$ nên theo định lí ba đường vuông góc ta có $D^{\prime }O\perp AC$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha =\widehat{D^{\prime }OD}$. Ta có tam giác $D^{\prime }OD$ vuông tại $D$, $D^{\prime }D=a$ và $DO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Do đó $\tan \alpha =\frac{D^{\prime }D}{DO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.

Chọn A.