Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình $(\sin x-1)[2{\cos }^{2}x-(2m+1)\cos x+m]=0$ có đúng 4 nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$?

Chọn D.
Phương trình tương đương:
$(\sin x-1)(\cos x-m)(2\cos x-1)=0⟺[\begin{array}{l}\sin x=1\\ \cos x=\frac{1}{2}\\ \cos x=m\end{array}.$
Trên đoạn $[0;2\pi ]$:
- $\sin x=1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}$.
- $\cos x=\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{5\pi }{3}$.
Ba nghiệm này đều phân biệt. Để phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi ]$ thì phương trình $\cos x=m$ phải sinh ra đúng 1 nghiệm mới khác các nghiệm trên.
- Nếu $m=1$: $\cos x=1$ có nghiệm $x=0$ và $x=2\pi$ (thêm 2 nghiệm, thành 5 nghiệm).
- Nếu $m=-1$: $\cos x=-1$ có đúng 1 nghiệm là $x=\pi$ (khác 3 nghiệm trên). Khi đó có $1+2+1=4$ nghiệm thỏa mãn.
- Nếu $m=\frac{1}{2}$: nghiệm của $\cos x=m$ trùng với $\cos x=\frac{1}{2}$, tổng số nghiệm vẫn là 3 (loại).
- Nếu $m=0$: $\cos x=0$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (đã có từ $\sin x=1$) và $x=\frac{3\pi }{2}$ (thêm đúng 1 nghiệm mới). Khi đó có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Vậy có 2 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=-1$ và $m=0$.