Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in [-10;10]$ để phương trình ${\log }_2\sqrt{x^2+1}={\log }_2(mx+m)$ có nghiệm $x\in (-\infty ;-1)$?

Phương trình tương đương: $\sqrt{x^2+1}=m(x+1)$ với $x<-1$. Vì $x<-1⟹x+1<0$, suy ra $m=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$. Xét hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ trên $(-\infty ;-1)$: ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{(x+1{)}^2\sqrt{x^2+1}}<0,\forall x<-1$. Lại có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\infty$. Do đó tập giá trị của $f(x)$ là $(-\infty ;-1)$. Phương trình có nghiệm khi $m<-1$. Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-10;-9;\dots ;-2\}$, gồm đúng 9 giá trị nguyên. Chọn B.