Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in [-10;10]$ sao cho phương trình $\sin 2x+m\cos 2x=5-m$ có $5$ nghiệm thuộc khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$?

Đặt $t=2x\in (-2\pi ;3\pi )$. Phương trình viết lại thành $\sin t+m(1+\cos t)=5$. Vì $\cos t=-1$ không là nghiệm nên đặt $u=\tan \frac{t}{2}=\tan x$, ta có $\frac{2u}{1+u^2}+\frac{2m}{1+u^2}=5⟺5u^2-2u+5-2m=0$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, mỗi giá trị $u<0$ cho $2$ nghiệm $x$, giá trị $u=0$ cho $2$ nghiệm $x$, và mỗi giá trị $u>0$ cho $3$ nghiệm $x$. Để phương trình có đúng $5$ nghiệm thì phương trình bậc hai theo $u$ phải có một nghiệm $u_1>0$ và một nghiệm $u_2\le 0$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $5-2m\le 0⟺m\ge \frac{5}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}\cap [-10;10]$ nên $m\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$, có $8$ giá trị. Chọn đáp án A.