Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f(x)=(m+1)x^3-(2m-1)x^2+x-1$ không có điểm cực đại?

Ta có $f^{\prime }(x)=3(m+1)x^2-2(2m-1)x+1$.
- TH1: $m+1=0\iff m=-1$. Khi đó $f(x)=3x^2+x-1$, parabol quay bề lõm lên trên, hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại. Vậy $m=-1$ thỏa mãn.
- TH2: $m+1>0\iff m>-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a>0$, để không có cực đại thì hàm số không có cực trị $\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff (2m-1{)}^2-3(m+1)\le 0\iff 4m^2-7m-2\le 0\iff -\frac{1}{4}\le m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2\}$.
- TH3: $m+1<0\iff m<-1$. Hàm số bậc ba có hệ số $a<0$, đồ thị luôn có nhánh đi lên rồi đi xuống hoặc luôn giảm, nếu có cực trị thì luôn có cả cực đại và cực tiểu, do đó trường hợp này không thỏa mãn.
Kết hợp lại: $m\in \{-1,0,1,2\}$, có 4 giá trị nguyên. Chọn A.