Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=g(x)=\left|\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+(m-2)x-4m+\frac{2}{3}\right|$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

Đặt $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+(m-2)x-4m+\frac{2}{3}\Rightarrow f^{\prime }(x)=x^2-4x+m-2$.
Hàm số $g(x)=|f(x)|$ đồng biến trên $(1;3)$ khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;3)$ và $f(1)\ge 0$.
$f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;3)\iff m-2\ge -x^2+4x,\forall x\in (1;3)\iff m-2\ge 4\iff m\ge 6$.
$f(1)=\frac{1}{3}-2+m-2-4m+\frac{2}{3}=-3m-3\ge 0\iff m\le -1$.
Hệ này vô nghiệm vì không tồn tại $m$ thỏa mãn $m\ge 6$ và $m\le -1$.
- Trường hợp 2: $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;3)$ và $f(1)\le 0$.
$f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;3)\iff m-2\le -x^2+4x,\forall x\in (1;3)\iff m-2\le 3\iff m\le 5$.
$f(1)=-3m-3\le 0\iff m\ge -1$.
Kết hợp lại: $-1\le m\le 5$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2;3;4;5\}$. Có tất cả 7 giá trị nguyên. Chọn D.