Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y=x^3+(m+2)x^2+m^{2}x$ cắt đường thẳng $y=(m+3)x+m^2$ tại ba điểm phân biệt?

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+(m+2)x^2+(m^2-m-3)x-m^2=0\iff (x-1)(x^2+(m+3)x+m^2)=0$. Đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt khi $g(x)=x^2+(m+3)x+m^2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$, tức là $\{\begin{array}{l}\Delta =(m+3{)}^2-4m^2>0\\ g(1)=m^2+m+4\ne 0\end{array}\iff -3m^2+6m+9>0\iff -1<m<3$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn A.