Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=x^5-\frac{2023}{x}-mx$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$?

Ta có $y^{\prime }=5x^4+\frac{2023}{x^2}-m$. Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x>0\iff m\le 5x^4+\frac{2023}{x^2},\forall x>0\iff m\le {\min }_{(0;+\infty )}g(x)$. Áp dụng BĐT AM-GM hoặc đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất của $g(x)=5x^4+\frac{2023}{2x^2}+\frac{2023}{2x^2}\ge 3\sqrt[3]{5\cdot \frac{2023^2}{4}}\approx 516,7$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;\dots ;516\}$, có 516 giá trị. Chọn A.