Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $({\log }_2(x+2)+1)(3^x-m)<0$ chứa không quá $9$ số nguyên?

Điều kiện $x>-2$. Vì $m\ge 1$ nguyên dương nên ${\log }_{3}m\ge 0>-\frac{3}{2}$. Do đó bất phương trình $({\log }_2(x+2)+1)(3^x-m)<0\iff -\frac{3}{2}<x<{\log }_{3}m$. Vì tập nghiệm chứa không quá $9$ số nguyên (tối đa gồm $-1,0,1,\dots ,7$) nên ${\log }_{3}m\le 8\iff m\le 3^8=6561$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;6561\}$. Vậy có $6561$ giá trị $m$ thỏa mãn.