Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-2023;2023)$ của tham số $m$ để hàm số $y=\left|\ln (x^2+x+m)+x\right|$ đồng biến trên khoảng $(-1;3)$?

Xét hàm số $g(x)=\ln (x^2+x+m)+x$ trên $(-1;3)$. Điều kiện xác định: $x^2+x+m>0,\forall x\in (-1;3)\iff m\ge \frac{1}{4}$. Với $m\in \mathbb{Z},m\ge 1$, ta có $g^{\prime }(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+m}+1=\frac{x^2+3x+m+1}{x^2+x+m}>0,\forall x\in (-1;3)$ (do $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)>0$ trên $(-1;3)$ và $m\ge 1$). Vì $g(x)$ đồng biến trên $(-1;3)$ nên $|g(x)|$ đồng biến trên $(-1;3)$ khi và chỉ khi $g(-1)\ge 0\iff \ln m-1\ge 0\iff m\ge e\approx 2,718$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in (-2023;2023)$, ta được $m\in \{3;4;\dots ;2022\}$, có $2022-3+1=2020$ giá trị. Chọn B.