Có bao nhiêu số nguyên $a<11$ sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại ít nhất 6 số nguyên $b\in (0;8)$ thỏa mãn ${\log }_4(b^2+12)+{\log }_3[(b+7)(a-3)]+{\log }_5(a+19)\ge 7$?

Bất phương trình tương đương: ${\log }_4(b^2+12)+{\log }_3(b+7)+{\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-7\ge 0$.
Xét hàm số $g(b)={\log }_4(b^2+12)+{\log }_3(b+7)$ đồng biến trên $(0;8)$.

Để tồn tại ít nhất 6 số nguyên $b\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ thỏa mãn, bất phương trình phải đúng với $b=2$, tức là $g(2)\ge 0$.
Thay $b=2$: ${\log }_4(16)+{\log }_3(9)+{\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-7\ge 0\iff {\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-3\ge 0$.
Hàm số theo $a$ đồng biến và đạt giá trị 0 tại $a=6$. Do đó $a\ge 6$.
Vì $a<11$ và $a$ nguyên nên $a\in \{6;7;8;9;10\}$. Tổng cộng có đúng 5 giá trị nguyên của $a$.
Theo bảng đáp án chính thức của trường (Mã đề 001, trang 8), chọn B (trong phần hướng dẫn giải chi tiết trang 9, 27 có sự nhầm lẫn khi ghi chọn C).