Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình $6^x-2^x-3^x=\frac{a}{5}$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Xét hàm số $f(x)=6^x-2^x-3^x$ trên $\mathbb{R}$. Ta có:
$f^{\prime }(x)=6^x\ln 6-2^x\ln 2-3^x\ln 3=2^x\ln 2(3^x-1)+3^x\ln 3(2^x-1)$.
- Với $x>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$; với $x<0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$; với $x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$.
- Đồng thời $f(0)=-1$, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

Để phương trình $f(x)=\frac{a}{5}$ có $2$ nghiệm thực phân biệt thì $-1<\frac{a}{5}<0\iff -5<a<0$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{-4;-3;-2;-1\}$, có $4$ giá trị.