Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_3\frac{x^2-9}{125}\le {\log }_5\frac{x^2-9}{27}$?

Điều kiện $x^2-9>0\iff |x|>3$. Bất phương trình tương đương ${\log }_3(x^2-9)-3{\log }_{3}5\le {\log }_5(x^2-9)-3{\log }_{5}3\iff {\log }_3(x^2-9)\left(1-{\log }_{5}3\right)\le 3({\log }_{3}5-{\log }_{5}3)=3{\log }_{3}5(1-{\log }_{5}3)\iff {\log }_3(x^2-9)\le 3{\log }_{3}5\iff x^2-9\le 125\iff x^2\le 134$. Kết hợp $3<|x|\le \sqrt{134}\approx 11,57$, suy ra $|x|\in \{4;5;\dots ;11\}$? Khoan: vì $1-{\log }_{5}3>0$ và ${\log }_{3}5-{\log }_{5}3={\log }_{3}5(1-{\log }_5^{2}3)={\log }_{3}5(1-{\log }_{5}3)(1+{\log }_{5}3)$, nên ${\log }_3(x^2-9)\le 3{\log }_{3}5(1+{\log }_{5}3)=3+3{\log }_{3}5={\log }_3(27\cdot 125)={\log }_{3}3375\iff 9<x^2\le 3384\iff 3<|x|\le 58$. Vậy có $2\cdot (58-3)=110$ giá trị nguyên của $x$. Chọn A.