Có bao nhiêu số nguyên $y$ để tồn tại số thực $x$ thỏa mãn ${\log }_3(x+2y)={\log }_2(x^2+y^2)$?

Điều kiện xác định: $x+2y>0$ và $x^2+y^2>0$.
Đặt ${\log }_3(x+2y)={\log }_2(x^2+y^2)=t$.
Khi đó:
$\{\begin{array}{l}x+2y=3^t\\ x^2+y^2=2^t\end{array}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(x+2y{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5(x^2+y^2)$
$⟹(3^t{)}^2\le 5\cdot 2^t⟺9^t\le 5\cdot 2^t⟺{\left(\frac{9}{2}\right)}^t\le 5⟺t\le {\log }_{\frac{9}{2}}5\approx 1,07.$
Suy ra $x^2+y^2=2^t\le 2^{1,07}<2^2=4$.
Do $y^2\le x^2+y^2<4$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{-1;0;1\}$.
- Với $y=-1$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x-2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{array}⟹(3^t+2{)}^2+1=2^t⟺9^t+4\cdot 3^t-2^t+5=0$.
+ Nếu $t\le 0$ thì $5-2^t>0$, vế trái $>0$, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $t>0$ thì $9^t>2^t$, vế trái $>0$, phương trình vô nghiệm.
Vậy $y=-1$ không thỏa mãn.
- Với $y=0$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x=3^t\\ x^2=2^t\end{array}⟹9^t=2^t⟺{\left(\frac{9}{2}\right)}^t=1⟺t=0⟹x=1$ (thỏa mãn).
- Với $y=1$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x+2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{array}⟹(3^t-2{)}^2+1=2^t$.
Với $t=1$, ta có $(3-2{)}^2+1=2=2^1$ (thỏa mãn), suy ra $x=3^1-2=1$.
Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $y=0$ và $y=1$.