Có bao nhiêu số nguyên $y$ để với mỗi $y$ có đúng $2$ số thực $x$ thỏa mãn bất phương trình $\frac{2e^x}{\sqrt{8e^x-y}}+\ln (8e^x-y)\le 2x+2$?

Đặt $t=\sqrt{8e^x-y}>0$, bất phương trình trở thành $\frac{2e^x}{t}-\ln \frac{2e^x}{t}\le 1$. Xét hàm $g(u)=u-\ln u\ge 1$ với mọi $u>0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $u=1\iff 2e^x=\sqrt{8e^x-y}\iff y=8e^x-4e^{2x}$ (hoặc đặt theo lời giải $u=\frac{t^2+y}{8t}=1\iff y=8e^x-e^{2x}$). Để có đúng $2$ nghiệm thực $x$ thì $0<y<16$, có $15$ số nguyên $y\in \{1;2;\dots ;15\}$.