Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $|z+2-i|=2$ và số phức $(z-i{)}^2$ là số thuần ảo?

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2$.
Phương trình $(C):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4$.
Ta có $z-i=x+(y-1)i$.
Số phức $(z-i{)}^2=x^2-(y-1{)}^2+2x(y-1)i$ là số thuần ảo khi phần thực bằng 0:
$x^2-(y-1{)}^2=0\iff (y-1{)}^2=x^2\iff [\begin{array}{l}y-1=x\\ y-1=-x\end{array}$
Thay vào phương trình đường tròn $(C)$:
- Với $(y-1{)}^2=x^2$: $(x+2{)}^2+x^2=4\iff 2x^2+4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$
+ $x=0\Rightarrow (y-1{)}^2=0\Rightarrow y=1\Rightarrow z=i$.
+ $x=-2\Rightarrow (y-1{)}^2=4\Rightarrow y-1=\pm 2\Rightarrow y=3$ hoặc $y=-1$, tương ứng $z=-2+3i$ hoặc $z=-2-i$.
Kiểm tra lại, có đúng 3 điểm phân biệt thỏa mãn.
Vậy có 3 số phức $z$ thỏa mãn.
Chọn D.