Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-5i|=\sqrt{17}$ và $(z-2{)}^2$ là số ảo?

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có $(z-2{)}^2=((x-2)+yi{)}^2=(x-2{)}^2-y^2+2(x-2)yi$.
Để $(z-2{)}^2$ là số thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức $(x-2{)}^2-y^2=0⟺y^2=(x-2{)}^2⟺y=\pm (x-2)$.
Từ điều kiện $|z-2-5i|=\sqrt{17}⟺(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=17$.
Thay $(x-2{)}^2=y^2$ vào phương trình mặt cầu:
$y^2+(y-5{)}^2=17⟺2y^2-10y+25=17⟺2y^2-10y+8=0⟺y^2-5y+4=0$.
Suy ra $y=1$ hoặc $y=4$.
- Với $y=1⟹(x-2{)}^2=1⟹x-2=\pm 1⟹x=3$ hoặc $x=1$ (cho 2 số phức).
- Với $y=4⟹(x-2{)}^2=16⟹x-2=\pm 4⟹x=6$ hoặc $x=-2$ (cho 2 số phức).
Vậy có tất cả $4$ số phức $z$ thỏa mãn.