Để chuẩn bị cho quỹ học bổng "Nâng bước tương lai học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trỗi", nhằm hỗ trợ các học sinh có hoàn cảnh khó khăn của trường, một cựu học sinh đã quyết định gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 500 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép. Theo thỏa thuận, ngân hàng áp dụng mức lãi suất $6\%$/năm và tiền lãi sẽ được nhập vào vốn (vốn hóa) mỗi năm một lần. (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi).
a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) có trong quỹ học bổng sau 6 năm. (Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân, đơn vị: triệu đồng).
b) Mục tiêu của quỹ là đạt mốc 600 triệu đồng để bắt đầu trao học bổng. Hỏi cựu học sinh đó cần gửi tiền trong ít nhất bao nhiêu năm thì quỹ đạt được mục tiêu?

a) Gọi $P$ là số tiền vốn ban đầu: $P=500$ (triệu đồng). Gọi $r$ là lãi suất hàng năm: $r=6\%=0.06$. Gọi $V_n$ là tổng số tiền trong quỹ (cả vốn và lãi) sau $n$ năm.
Ta có công thức tính lãi kép:
$$V_n=P\cdot (1+r{)}^n$$
Theo đề bài, ta có:
$$V_n=500\cdot (1+0.06{)}^n=500\cdot (1.06{)}^n$$
Dãy số $V_1,V_2,V_3,...,V_n,...$ (tổng số tiền sau mỗi năm) lập thành một cấp số nhân với công bội $q=1.06$. (0.25 điểm)

Tính tổng số tiền sau 6 năm: Ta cần tính giá trị của $V_6$.
Áp dụng công thức, ta có:
$$V_6=500\cdot (1.06{)}^6$$
Sử dụng máy tính cầm tay:
$$(1.06{)}^6\approx 1.418519112$$
$$V_6\approx 500\cdot 1.418519112\approx 709.259556$$
Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân, ta được:
$$V_6\approx 709.26\text{ (triệu đoˆˋng).}$$ (0.25 điểm)

b) Mục tiêu là tìm số năm $t$ (nguyên dương) nhỏ nhất sao cho tổng số tiền $A\ge 600$ triệu đồng.
Ta có công thức:
$$A=500\times (1.06{)}^t$$ (0.5 điểm)

Chúng ta cần tìm $t$ nhỏ nhất sao cho:
$$500\times (1.06{)}^t\ge 600$$
Hay:
$$(1.06{)}^t\ge \frac{600}{500}$$
$$(1.06{)}^t\ge 1.2$$
Vì $t$ là số năm và ngân hàng nhập lãi mỗi năm một lần, $t$ phải là số nguyên dương ($t=1,2,3,\dots$), và dựa trên câu a, $t$ sẽ nhỏ hơn 6. Chúng ta sẽ thử $t$ bắt đầu từ 1:
- Với $t=1$ năm: Số tiền là $A=500\times (1.06{)}^1=530$ (triệu đồng). → $530<600$ (Chưa đủ).
- Với $t=2$ năm: Số tiền là $A=500\times (1.06{)}^2=561.8$ (triệu đồng). → $561.8<600$ (Vẫn chưa đủ).
- Với $t=3$ năm: Số tiền là $A=500\times (1.06{)}^3\approx 595.51$ (triệu đồng). → $595.51<600$ (Vẫn chưa đủ, còn thiếu một chút).
- Với $t=4$ năm: Số tiền là $A=500\times (1.06{)}^4\approx 631.24$ (triệu đồng). → $631.24>600$ (Đã vượt qua mốc 600 triệu).

Kết luận: Ta thấy $t=4$ là số năm nguyên dương nhỏ nhất để số tiền trong quỹ đạt được mục tiêu. Vậy, cựu học sinh đó cần gửi tiền trong ít nhất 4 năm.