Diện tích bao phủ của cỏ Posidonia (một loại tảo biển) trên đáy ở một vùng vịnh theo thời gian được một nhóm các nhà sinh vật học quan sát và mô hình bởi hàm số $f(t)=\frac{k}{1+14e^{-0,3t}}$ $(hecta)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng năm, $k$ là số thực dương. Năm 2024 (ứng với $t=0$) là thời điểm các nhà sinh vật học bắt đầu quan sát, lúc đó diện tích của cỏ Posidonia đã bao phủ là 1 $(hecta)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=\frac{k}{1+14}=1$ suy ra $k=15$ (không phải 2), nên ý a) sai. Vì $0<f(t)<15$ với mọi $t$ và ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=15$, diện tích không vượt quá 15 hecta, ý b) đúng. Khi $f(t)=5$: $5(1+14e^{-0.3t})=15\Rightarrow e^{-0.3t}=\frac{1}{7}$. Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{15\cdot 14\cdot 0,3e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}=\frac{63e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}$. Thay $e^{-0.3t}=\frac{1}{7}$: $f^{\prime }=\frac{63/7}{25}=\frac{9}{25}=0,36\ne 1$, ý c) sai. $f^{\prime }(t)$ lớn nhất khi $1+14e^{-0.3t}=2$ (điểm uốn), tức $e^{-0.3t}=\frac{1}{14}\Rightarrow t=\frac{\ln 14}{0,3}\approx 8,77$ năm, tức khoảng năm 2032 (cuối 2032/đầu 2033), không phải năm 2035, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{k}{15}=1\Rightarrow k=15\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=15$, $f(t)=\frac{15}{1+14e^{-0.3t}}<15$ với mọi $t$ và tiến tới 15 khi $t\to +\infty$, nên diện tích không vượt quá 15 hecta.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $f=5$ thì $e^{-0.3t}=1/7$; $f^{\prime }(t)=\frac{63e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}=\frac{9}{25}=0,36$ hecta/năm $\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ lớn nhất tại điểm uốn $1+14e^{-0.3t}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 14}{0,3}\approx 8,77$, tức khoảng năm 2032–2033, không phải 2035.