Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{\cos }^{3}x-\frac{9}{2}{\cos }^{2}x+3\cos x+\frac{1}{2}$ là

Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$. Xét hàm số $g(t)=2t^3-\frac{9}{2}{t}^2+3t+\frac{1}{2}$ trên đoạn $[-1;1]$. Ta có $g^{\prime }(t)=6t^2-9t+3=0\iff t=1$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Tính $g(-1)=-2-\frac{9}{2}-3+\frac{1}{2}=-9$; $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}$; $g(1)=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-9$.