Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên $(0;3]$ là $\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $S=a+b$.

**Chọn B**

Với $x\in (0;3]$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\frac{4}{x}$:
$y=x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{4}{x}\iff x^2=4\iff x=2\in (0;3]$.
Vậy giá trị nhỏ nhất là $4=\frac{4}{1}$, suy ra $a=4,b=1\Rightarrow S=a+b=5$.