Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$\{\begin{array}{l}\sqrt{2x^{2}y+3y}=\frac{1}{2}\left(3y-3-2x^2\right)\\ \sqrt{2x^2+4x-y+2}=1-\sqrt[3]{2x^2+2x-y+2}\end{array}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^{2}y+3y\ge 0$, $3y-3-2x^2\ge 0$, $2x^2+4x-y+2\ge 0$.

**Phương trình thứ nhất.** Đặt $t=2x^2+3\ge 3$, khi đó phương trình viết được thành
$$\sqrt{yt}=\frac{3y-t}{2}.$$
Bình phương hai vế (chú ý $3y-t\ge 0$):
$$4yt=9y^2-6yt+t^2⟺9y^2-10ty+t^2=0⟺(9y-t)(y-t)=0.$$
Vậy $y=t$ hoặc $y=t/9$. Với $y=t/9$ thì $3y-t=-\frac{2t}{3}<0$ (vì $t\ge 3$), loại do điều kiện vế phải không âm. Với $y=t$ thì $3y-t=2t>0$, thỏa mãn.
Do đó $y=2x^2+3$.

**Phương trình thứ hai.** Thay $y=2x^2+3$:
$$2x^2+4x-y+2=4x-1,2x^2+2x-y+2=2x-1.$$
Phương trình trở thành $\sqrt{4x-1}=1-\sqrt[3]{2x-1}$, với điều kiện $x\ge \frac{1}{4}$ và $\sqrt[3]{2x-1}\le 1$.

Đặt $s=\sqrt[3]{2x-1}$, khi đó $4x-1=2(2x-1)+1=2s^3+1$, phương trình là
$$\sqrt{2s^3+1}=1-s.$$
Bình phương hai vế (với $s\le 1$):
$$2s^3+1=1-2s+s^2⟺2s^3-s^2+2s=0⟺s\left(2s^2-s+2\right)=0.$$
Tam thức $2s^2-s+2$ có biệt thức $\Delta =1-16<0$ nên vô nghiệm trên $\mathbb{R}$. Vậy $s=0$, tức $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, suy ra $y=2\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{7}{2}$.

**Thử lại:** Phương trình (1): vế trái $\sqrt{2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{7}{2}+3\cdot \frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}+\frac{21}{2}}=\frac{7}{2}$; vế phải $\frac{1}{2}\left(\frac{21}{2}-3-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{2}$. Phương trình (2): vế trái $\sqrt{\frac{1}{2}+2-\frac{7}{2}+2}=1$; vế phải $1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+1-\frac{7}{2}+2}=1-0=1$. Cả hai đều thỏa mãn.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$.