Một gia đình ba thế hệ có 26 thành viên, trong đó có 16 người trưởng thành và 10 em bé. Mỗi em bé nuôi một con heo đất. Nhân dịp lễ 2/9, cả gia đình nhận được 2600000 đồng từ Chính phủ gồm 4 tờ tiền mệnh giá 500000 đồng và 6 tờ tiền mệnh giá 100000 đồng. Giả sử các tờ tiền cùng mệnh giá là giống nhau. Để lưu giữ kỉ niệm, gia đình quyết định lấy 10 tờ tiền vừa nhận được bỏ vào các con heo đất của những em bé. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ các tờ tiền trên vào các con heo đất trong các trường hợp sau:
a) Mỗi con heo đất nhận đúng 1 tờ tiền?
b) Có đúng 2 con heo đất không nhận được bất kì tờ tiền nào?

(AI giải đề cho tôi)
Gia đình có 10 em bé nên có 10 con heo đất (phân biệt nhau theo từng em bé). Có 10 tờ tiền: 4 tờ 500000 đồng giống nhau và 6 tờ 100000 đồng giống nhau.

a) Mỗi con heo đất nhận đúng 1 tờ tiền:
Vì các tờ tiền cùng mệnh giá giống nhau, một cách bỏ tương ứng với việc chọn 4 trong 10 con heo đất để nhận tờ 500000 đồng (các con heo còn lại nhận tờ 100000 đồng). Số cách:
$$N_a=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210.$$

b) Có đúng 2 con heo đất không nhận được tờ tiền nào:
- Chọn 2 con heo đất không nhận tờ nào: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ cách.
- Phân 4 tờ 500000 và 6 tờ 100000 vào 8 con heo đất còn lại, mỗi con nhận ít nhất 1 tờ.

Đếm số cách phân vào 8 con heo (mỗi con nhận ít nhất 1 tờ). Xét cách phân các tờ 500000 trước: số tờ 500000 vào mỗi con heo là $a_i\ge 0$, $\sum a_i=4$. Nếu vector $(a_i)$ có đúng $m$ vị trí bằng 0 thì các con heo đó buộc phải nhận tờ 100000. Số vector $(a_i)$ có đúng $m$ phần tử bằng 0 là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{m}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7-m}\right)$ (với $m=4,5,6,7$). Với mỗi such vector, số cách phân 6 tờ 100000 sao cho $m$ con heo có $a_i=0$ nhận ít nhất 1 tờ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-m}{7}\right)$.

$$\begin{array}{rl}N& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{7}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7}\right)\\ & =70\cdot 1\cdot 36+56\cdot 3\cdot 8+28\cdot 3\cdot 1=2520+1344+84=3948.\end{array}$$

(Kiểm tra bằng bao hàm - loại trừ: ${\sum }_{j=0}^7(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{11-j}{7-j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{13-j}{7-j})=3948$.)

Vậy số cách ở câu b):
$$N_b=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)\cdot 3948=45\cdot 3948=177660.$$

Kết luận: a) Có $210$ cách; b) Có $177660$ cách.