Gọi $S$ là tập tất cả giá trị của $m$ để phương trình $16^x-6\cdot 8^x+8\cdot 4^x-m\cdot 2^{x+1}-m^2=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt. Khi đó $S$ có

Đặt $t=2^x,(t>0)$, phương trình đã cho trở thành $t^4-6t^3+8t^2-2mt-m^2=0(\ast ),t>0$.

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(\ast )$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

$(\ast )\iff (t^4-6t^3+9t^2)-(t^2+2mt+m^2)=0\iff [\begin{array}{l}m=t^2-4t(1)\\ m=-t^2+2t(2)\end{array}$.

Xét hai hàm số $f(t)=t^2-4t;g(t)=-t^2+2t$ trên khoảng $(0;+\infty )$ có đồ thị như sau:

[IMAGE_1]

Dựa vào đồ thị hai hàm số này ta suy ra phương trình $(\ast )$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $m\in \{0;1;-3;-4\}$ hay $S$ có $4$ phần tử.

Vậy $S$ có $2^4=16$ tập con.