Gọi $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4\left(\frac{x+y}{6}\right)$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$.

Đặt ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4\left(\frac{x+y}{6}\right)=t$. Khi đó $x=9^t,y=6^t,x+y=6\cdot 4^t$. Ta có $9^t+6^t=6\cdot 4^t\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2t}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t-6=0$. Đặt $u={\left(\frac{3}{2}\right)}^t>0$, phương trình trở thành $u^2+u-6=0\iff u=2$ (loại $u=-3$). Do đó $\frac{x}{y}=\frac{9^t}{6^t}={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=2$. Chọn C.