Luật Benford chỉ ra rằng khi chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu (như độ dài các con sông trên thế giới, số lượng các loài côn trùng trên thế giới,...) thì xác suất để chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó là (với ) bằng .
a) Chứng minh và tìm số nhỏ nhất để .
b) Một người muốn làm giả số liệu nhằm tưởng rằng các chữ số đầu tiên bên trái của các số liệu trong một bảng số liệu bất kỳ sẽ tuân theo quy tắc ngẫu nhiên từ 1 đến 9 và cùng khả năng xảy ra. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu. Chứng minh rằng nếu tính xác suất cho biến cố “chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó lớn hơn 5” thì người muốn làm giả số liệu đó sẽ tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả khi tính theo Luật Benford.
Luật Benford chỉ ra rằng khi chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu (như độ dài các con sông trên thế giới, số lượng các loài côn trùng trên thế giới,...) thì xác suất để chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó là (với ) bằng .
a) Chứng minh và tìm số nhỏ nhất để .
b) Một người muốn làm giả số liệu nhằm tưởng rằng các chữ số đầu tiên bên trái của các số liệu trong một bảng số liệu bất kỳ sẽ tuân theo quy tắc ngẫu nhiên từ 1 đến 9 và cùng khả năng xảy ra. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu. Chứng minh rằng nếu tính xác suất cho biến cố “chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó lớn hơn 5” thì người muốn làm giả số liệu đó sẽ tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả khi tính theo Luật Benford.
a) Chứng minh và tìm số nhỏ nhất để .
b) Một người muốn làm giả số liệu nhằm tưởng rằng các chữ số đầu tiên bên trái của các số liệu trong một bảng số liệu bất kỳ sẽ tuân theo quy tắc ngẫu nhiên từ 1 đến 9 và cùng khả năng xảy ra. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu. Chứng minh rằng nếu tính xác suất cho biến cố “chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó lớn hơn 5” thì người muốn làm giả số liệu đó sẽ tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả khi tính theo Luật Benford.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có . Do đó tổng là tổng telescoping:
Tương tự, . Cần . Vậy số nhỏ nhất nguyên là .
Kiểm tra: với , (không thỏa mãn); với , (thỏa mãn).
b) Người làm giả số liệu cho rằng các chữ số đầu từ 1 đến 9 đồng khả năng, mỗi chữ số có xác suất . Biến cố “chữ số đầu tiên lớn hơn 5” tương ứng với các chữ số 6, 7, 8, 9, nên theo cách tính của người đó:
Theo Luật Benford:
Cần chứng minh , tức , tương đương . Thật vậy , nên (số học: và ).
Vậy người làm giả số liệu tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả tính theo Luật Benford. Đpcm.
a) Ta có . Do đó tổng là tổng telescoping:
Tương tự, . Cần . Vậy số nhỏ nhất nguyên là .
Kiểm tra: với , (không thỏa mãn); với , (thỏa mãn).
b) Người làm giả số liệu cho rằng các chữ số đầu từ 1 đến 9 đồng khả năng, mỗi chữ số có xác suất . Biến cố “chữ số đầu tiên lớn hơn 5” tương ứng với các chữ số 6, 7, 8, 9, nên theo cách tính của người đó:
Theo Luật Benford:
Cần chứng minh , tức , tương đương . Thật vậy , nên (số học: và ).
Vậy người làm giả số liệu tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả tính theo Luật Benford. Đpcm.