Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(0;7;2)$; $B(0;0;10,8)$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$, biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn $AM=2,5$ và $N$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):z-12=0$ thỏa mãn $BN=1,3$.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng Oxy với AM = 2,5. Khoảng cách từ A(0;7;2) đến Oxy là 2, nên tập hợp M là đường tròn trong Oxy tâm A'(0;7;0) bán kính $r=\sqrt{2,5^2-2^2}=\sqrt{6,25-4}=1,5$. N thuộc mặt phẳng (α): z = 12 với BN = 1,3. Khoảng cách từ B(0;0;10,8) đến (α) là 12 − 10,8 = 1,2, nên tập hợp N là đường tròn trong (α) tâm B'(0;0;12) bán kính $s=\sqrt{1,3^2-1,2^2}=\sqrt{1,69-1,44}=0,5$. Hai tâm A', B' cách nhau $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{7^2+12^2}=\sqrt{193}$... xét khoảng cách ngang d giữa M và N: hình chiếu của M, N xuống một mặt phẳng ngang, d nằm trong đoạn $[A^{\prime }{B}_{xy}^{\prime }-r-s,A^{\prime }{B}_{xy}^{\prime }+r-s]$... chính xác: khoảng cách ngang từ M đến B' biến thiên trong $[7-1,5;7+1,5]=[5,5;8,5]$, cộng thêm độ lệch ngang của N so với B' tối đa 0,5 nên $d\in [5;9]$. Vì $MN=\sqrt{12^2+d^2}$ với phần cao chênh lệch cố định bằng 12 (M có z=0, N có z=12), ta có: $M{N}_{\min }=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ (khi M, N, B' thẳng hàng theo phương ngang, d = 5); $M{N}_{\max }=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$ (khi d = 9). Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 13 và giá trị lớn nhất là 15.