Luật Benford chỉ ra rằng khi chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu (như độ dài các con sông trên thế giới, số lượng các loài côn trùng trên thế giới,...) thì xác suất để chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó là $k$ (với $1\le k\le 9$) bằng $p_k={\log }_{10}\left(1+\frac{1}{k}\right)$.

a) Chứng minh $p_1+p_2+\cdots +p_9=1$ và tìm số $k$ nhỏ nhất để $p_1+p_2+\cdots +p_k\ge \frac{3}{4}$.

b) Một người muốn làm giả số liệu nhằm tưởng rằng các chữ số đầu tiên bên trái của các số liệu trong một bảng số liệu bất kỳ sẽ tuân theo quy tắc ngẫu nhiên từ 1 đến 9 và cùng khả năng xảy ra. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu. Chứng minh rằng nếu tính xác suất cho biến cố “chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó lớn hơn 5” thì người muốn làm giả số liệu đó sẽ tính ra kết quả lớn hơn hai lần kết quả khi tính theo Luật Benford.

Một chi tiết máy được ghép từ hai khối kim loại có dạng khối chóp tam giác $S.ABC$ và khối lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ như hình vẽ bên. Biết rằng độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$ là $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Đồng thời, chi tiết máy này có đặc điểm như sau:

- Các khoảng cách từ $S$ đến các điểm $A,B,C$ bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ $S$ đến $A^{\prime }$.
- Các góc giữa các mặt phẳng $(SAB),(SBC),(SCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$ cùng bằng $\alpha$ và $\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan \beta$ trong đó $\beta$ là góc giữa $S{A}^{\prime }$ với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Tính theo $a$ thể tích của chi tiết máy này.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(0;7;2)$; $B(0;0;10,8)$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$, biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn $AM=2,5$ và $N$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):z-12=0$ thỏa mãn $BN=1,3$.