Một chất điểm $X$ chuyển động dọc theo đường thẳng sao cho vận tốc của nó ở thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=t^2-3t+2$ (m/s). Ban đầu, vật ở vị trí điểm $O$ và đi theo hướng về điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí của X: $s(t)=\int vdt=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t$ (với $s(0)=0$). $v(t)=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$, nên $v\ge 0$ trên $[0,1]\cup [2,+\infty )$, $v<0$ trên $(1,2)$.

a) Trên $[0,1]$ vật đi tới: quãng đường $=s(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$ (m). Đúng.

b) $s(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$ (m), khoảng cách tới $O$ là $\frac{2}{3}$ m $\ne 1$ m. Sai.

c) Vị trí $Y$: $\frac{t}{3}$. Gặp nhau: $\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t=\frac{t}{3}\iff t\left(2t^2-9t+10\right)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{9}{4},t=\frac{5}{2}$. Hai lần gặp (không tính $O$): $t=2,25$ và $t=2,5$. Đúng.

d) $Z$: vị trí $0,75(t-t_0)$ với $t\ge t_0$. Gặp nhau: $f(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+\frac{5}{4}t+\frac{3t_0}{4}=0$. $f^{\prime }(t)=t^2-3t+\frac{5}{4}=0\iff t=0,5$ hoặc $t=2,5$. Với $t_0>0$: $f(0)>0$, $f(0,5)=\frac{7}{24}+\frac{3t_0}{4}>0$ (cực đại). Để có đúng 1 nghiệm (nghiệm kép tại $t=2,5$): $f(2,5)=-\frac{25}{24}+\frac{3t_0}{4}=0\iff t_0=\frac{25}{18}\approx 1,3889\approx 1,39$ giây. Nếu $f(2,5)<0$ thì có 2 nghiệm (và nghiệm thứ nhất luôn $\ge t_0$), nếu $f(2,5)>0$ thì không gặp. Vậy $t_0=1,39$, không phải $1,38$. Sai.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0,1]$, $v(t)\ge 0$ nên quãng đường $=s(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$ (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$ (m) $\ne 1$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $s(t)=\frac{t}{3}$: $t\left(2t^2-9t+10\right)=0\Rightarrow t=\frac{9}{4}$ hoặc $t=\frac{5}{2}$: hai lần gặp nhau (không tính $O$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Để $Z$ gặp $X$ đúng 1 lần cần nghiệm kép tại $t=2,5$: $-\frac{25}{24}+\frac{3t_0}{4}=0\Rightarrow t_0=\frac{25}{18}\approx 1,39$ giây, không phải $1,38$.