Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD). Biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(-\frac{1}{2};1\right)$ và đường tiệm cận xiên của đồ thị đó đi qua điểm B(3;2).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ dấu $-$ rồi $0$ rồi $+$ trên $(0;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến giá trị nhỏ nhất rồi tăng, giới hạn $+\infty$.
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.
a) Đúng.
b) Sai. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-\frac{1}{2}$.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
d) Sai. Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.