Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A{A}^{\prime }$. Cho biết $AB=2$, $BC=\sqrt{13}$, $C{C}^{\prime }=4$.

Đáp án: S S Đ S.

a) Sai.
b) Sai: Tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{13-4}=3$ $\Rightarrow V_{ltru}=\frac{1}{2}.2.3.4=12$.
c) Đúng: Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng A'BA $\Rightarrow \cos \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{AB}{A^{\prime }B}=\frac{2}{\sqrt{4+16}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
d) Sai: $d(A^{\prime }B,CE)=d(A^{\prime }B,(\mathrm{EFC}))=d(B;(\mathrm{EFC}))=d(A;(\mathrm{EFC}))=AK$; với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH: $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{{\mathrm{AF}}^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{1}+\frac{1}{4}=\frac{49}{36}\Rightarrow AK=\frac{6}{7}$.
a) Sai.
b) Sai. Tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{13-4}=3$ $\Rightarrow V_{ltru}=\frac{1}{2}.2.3.4=12$
c) Đúng. Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng A'BA $\Rightarrow \cos \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{AB}{A^{\prime }B}=\frac{2}{\sqrt{4+16}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
d) Sai. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $CE$ bằng khoảng cách giữa A'B và (EFC)
$\Rightarrow d(A^{\prime }B,CE)=d(A^{\prime }B,(\mathrm{EFC}))=d(B;(\mathrm{EFC}))=d(A;(\mathrm{EFC}))=AK$
Với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH.
$\Rightarrow \frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{{\mathrm{AF}}^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{1}+\frac{1}{4}=\frac{49}{36}\Rightarrow AK=\frac{6}{7}.$