Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;0;4)$, $C(4;0;3,5)$, trục $Ay$ theo chiều sâu $A{A}^{\prime }=6$. Tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là mặt phẳng $y=6$; tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ là $x=0$; tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là $x=4$.

- Bảng điều khiển $M$ trên tường sau, cách $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (đường $x=0$) khoảng $1$ m và cao $1,5$ m: $M(1;6;1,5)$.
- Bóng điện $P$ trên tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, cách $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (tại $y=6$) khoảng $3$ m nên $y=3$, cao $3$ m: $P(0;3;3)$.
- Bóng điện $Q$ trên tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, cách $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tại $y=6$) khoảng $3$ m nên $y=3$, cao $2,5$ m: $Q(4;3;2,5)$.

Đường dây ngắn nhất đi trên mặt tường: trải phẳng hai tường kề nhau quanh cạnh chung rồi lấy đoạn thẳng.

1) Từ $M$ đến $P$: trải phẳng tường sau ($y=6$) và tường trái ($x=0$) quanh cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Hai tường nằm về hai phía của cạnh, nên với trục $s$ đo khoảng cách đến $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $M$ có $s=1$, $P$ có $s=3$ nhưng nằm khác phía, tổng khoảng cách theo phương ngang là $1+3=4$; chênh lệch cao $3-1,5=1,5$.
$$MP=\sqrt{4^2+1,5^2}=\sqrt{18,25}\approx 4,272.$$
(Đoạn thẳng cắt cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ tại điểm có cao trong $[1,5;3]\subset [0;4]$ nên hợp lệ.)

2) Từ $M$ đến $Q$: trải phẳng tường sau và tường phải quanh cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khoảng cách đến $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $M$ cách $4-1=3$ (m), $Q$ cách $6-3=3$ (m), khác phía nên tổng theo phương ngang $3+3=6$; chênh cao $2,5-1,5=1$.
$$MQ=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}\approx 6,083.$$
(Đoạn thẳng cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại cao trong $[1,5;2,5]\subset [0;3,5]$ nên hợp lệ.)

Các đường đi qua mặt khác (sàn, nhiều tường) đều dài hơn vì đoạn thẳng sau khi trải phẳng hai tường là ngắn nhất.

Tổng dây tối thiểu:
$$MP+MQ=\sqrt{18,25}+\sqrt{37}\approx 4,272+6,083=10,355\approx 10,4(m).$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 10,4.