Một người đi dọc bờ biển từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí $A,B$ tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát lần lượt là $45^{\circ }$ và $75^{\circ }$. Biết khoảng cách giữa hai vị trí $A,B$ là $30m$ (Như hình vẽ). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí ngọn hải đăng. Theo hình vẽ, góc quan sát tại $A$ là $\widehat{CAB}=45^{\circ }$; tại $B$, góc $75^{\circ }$ là góc giữa phương quan sát và tia $\overrightarrow{AB}$ (phía ngoài đoạn $AB$), nên góc trong tam giác $\widehat{ABC}=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$.

Độ dài đường vuông góc từ $C$ xuống bờ biển (đường thẳng $AB$) là $h$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{30}{0,5}=60\Rightarrow BC=60\sin 45^{\circ }.$$
$$h=BC\cdot \sin 105^{\circ }=60\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 105^{\circ }=30\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=15(\sqrt{3}+1)\approx 41,0.$$
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $41$ m, khớp với đáp án 41 của đề.