Cho hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ x-2y\le 2\\ y\le 3\end{array}(I).$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình $(I)$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của (I): từ $x+y\ge 5$, $x-2y\le 2$, $y\le 3$ suy ra $x\ge 5-y$ và $x\le 2+2y$, do đó $5-y\le 2+2y\Rightarrow y\ge 1$. Miền là tam giác với các đỉnh: giao $x+y=5$ và $y=3$ là $A(2;3)$; giao $x+y=5$ và $x-2y=2$ là $B(4;1)$; giao $x-2y=2$ và $y=3$ là $C(8;3)$. Xét $f(x;y)=2x-5y$: $f(A)=4-15=-11$, $f(B)=8-5=3$, $f(C)=16-15=1$. Vậy $\min f=-11$ tại $A(2;3)$. Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ trong miền khi và chỉ khi $m\ge -\min f=11$. Giá trị nhỏ nhất của $m$ là $11$, khớp đáp án nguồn.