Một người dự định dùng 9 m² kính để làm một bể cá không nắp dạng hình hộp chữ nhật, trong đó chiều dài gấp đôi lần chiều rộng. Hỏi thể tích lớn nhất của bể cá là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m) với $x>0$, $h>0$. Diện tích kính (không có nắp): đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=9\Rightarrow h=\frac{9-2x^2}{6x}$, điều kiện $0<x<\sqrt{\frac{9}{2}}$.

Thể tích: $V=2x^{2}h=2x^2\cdot \frac{9-2x^2}{6x}=\frac{x(9-2x^2)}{3}=3x-\frac{2}{3}{x}^3$.

Xét hàm $V(x)=3x-\frac{2}{3}{x}^3$ trên $\left(0;\frac{3}{\sqrt{2}}\right)$: $V^{\prime }(x)=3-2x^2=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{3}{2}}$ (nằm trong khoảng). Vì $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<\sqrt{3/2}$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>\sqrt{3/2}$ nên đây là điểm cực đại, cũng là giá trị lớn nhất.

$V_{\max }=3\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}\approx 2,4495\approx 2,45$ m³.

Vậy thể tích lớn nhất của bể cá khoảng $2,45m^3$.