Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm $A$ lãi 3 triệu đồng người ta sử dụng máy $I$ trong 1 giờ, máy $II$ trong 2 giờ và máy $III$ trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm $B$ lãi được 9 triệu đồng người ta sử dụng máy $I$ trong 6 giờ, máy $II$ trong 3 giờ và máy $III$ trong 2 giờ. Biết rằng máy $I$ chỉ hoạt động không quá 30 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy $III$ hoạt động không quá 27 giờ. Tiền lãi thu được nhiều nhất là bao nhiêu? (đơn vị triệu đồng).

Gọi $x\ge 0$, $y\ge 0$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I$; $2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II$. $3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III$; Số tiền lãi của nhà máy: $T=3x+9y$ (triệu đồng). Bài toán trở thành: Tìm $x\ge 0$, $y\ge 0$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x+6y\le 30\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}$ (*) để $T=3x+9y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ (*) là phần miền ngũ giác không bị gạch chéo. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng ta được các đỉnh có tọa độ hữu hạn của miền nghiệm là: $O(0;0)$; $A(7;3)$; $B(9;0)$; $C(0;5)$; $D\left(\frac{16}{3};\frac{37}{9}\right)$. Thay tọa độ các điểm này vào biểu thức $T$ ta được: $T$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm D, tức là khi $x=\frac{16}{3}$; $y=\frac{37}{9}$. Vậy nhà máy cần sản xuất $\frac{16}{3}$ tấn sản phẩm $A$ và $\frac{37}{9}$ tấn sản phẩm $B$ để tiền lãi được nhiều nhất và số tiền lãi nhiều nhất là 53 (triệu đồng).