Một phôi vật liệu cơ khí được đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $cm$) như hình vẽ.



Dựa vào bản vẽ ta có các thông tin sau:
$AB=HG=IJ=KL=EF=CD=30(cm)$.
$AD=BC=150(cm)$.
$HB=AG=80(cm)$.
$IK=JL=20(cm)$.
$EC=FD=10(cm)$.
$HI=GJ=30(cm)$.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $D(0;150;0)$, $C(30;150;0)$, $G(0;0;80)$, $H(30;0;80)$, $J(0;30;80)$, $I(30;30;80)$, $K$ thẳng hàng dưới $I$ với $IK=20$ nên $K(30;30;60)$, $L(0;30;60)$, $E(30;150;10)$, $F(0;150;10)$.

a) Từ $I(30;30;80)$ hạ xuống $20$ theo phương thẳng đứng ta được $K(30;30;60)$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Hình chiếu của $K$ lên $(Oxy)$ là $K^{\prime }(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$. Mệnh đề SAI.

c) $KE=\sqrt{(30-30{)}^2+(150-30{)}^2+(10-60{)}^2}=\sqrt{120^2+50^2}=130$ cm. Mệnh đề ĐÚNG.

d) Gọi $M(m;30;80)$ trên $IJ$ với $0\le m\le 30$, khi đó $N=(m;30;60)$ trên $KL$ (vì $MN\parallel IK$).
- Đoạn 1 (mặt $(HGJI)$, mặt phẳng $z=80$): $GM=\sqrt{m^2+30^2}$, $t_1=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}$.
- Đoạn 2: $MN=20$, $t_2=\frac{20}{10}=2$ s.
- Đoạn 3: mặt $(KLFE)$ là hình chữ nhật $30\times 130$ (vì $\overrightarrow{KE}=(0;120;-50)$, $|KE|=130$, $\overrightarrow{KE}\cdot \overrightarrow{KL}=0$). Khi trải phẳng, $NE=\sqrt{(30-m{)}^2+130^2}$, $t_3=\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$.

Hàm thời gian $T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$. Giải $T^{\prime }(m)=0$ cho $m\approx 3,8$, khi đó $t_1\approx 6,05$, $t_3\approx 16,57$, $T\approx 24,6\approx 25$ s (kiểm tra biên: $m=0$ cho $T\approx 26,7$ s; $m=30$ cho $T\approx 26,7$ s). Thời gian ngắn nhất làm tròn là $25$ s, không phải $20$ s. Mệnh đề SAI.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I(30;30;80)$, $IK=20$ theo phương thẳng đứng xuống nên $K(30;30;60)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $K(30;30;60)$ lên $(Oxy)$ là $(30;30;0)$, không phải $(30;150;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$KE=\sqrt{0^2+120^2+(-50{)}^2}=\sqrt{16900}=130$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(m;30;80)$, $N(m;30;60)$: $T(m)=\frac{\sqrt{m^2+900}}{5}+2+\frac{\sqrt{(30-m{)}^2+16900}}{8}$. Giải $T^{\prime }(m)=0$ được $m\approx 3,8$ và $T_{\min }\approx 24,6\approx 25$ s $\ne 20$ s.