Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$ là $x_0=\frac{m}{n}\pi$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $m+2n$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=x+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ (âm với $k=0$, không cho nghiệm dương nhỏ nhất).

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$.

Với $k=0$: $x=\frac{2\pi }{9}>0$; các giá trị tiếp theo là $\frac{8\pi }{9},\frac{14\pi }{9},\dots$ đều lớn hơn. So với trường hợp 1 ($x=\frac{5\pi }{3}$ khi $k=1$), nghiệm dương nhỏ nhất là $x_0=\frac{2\pi }{9}$.

Vậy $m=2$, $n=9$ (phân số tối giản), nên $m+2n=2+18=20$.