Người ta trang trí một bảng ô vuông 4×4 (như hình 1) bởi các ngôi sao và các bông hoa giống nhau. Mỗi ô vuông nhỏ được dán một ngôi sao hoặc một bông hoa, sao cho trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng ô vuông đều có 2 ngôi sao và 2 bông hoa (tham khảo một cách dán trong hình 2). Có tất cả bao nhiêu cách trang trí bảng ô vuông thỏa mãn yêu cầu trên?

(Lời giải chính thức ghi "Đáp số: 2502"; bảng đáp án mã 1307 ghi 90 — xung đột, xem issues.)

Cách 1: Đặt mỗi ngôi sao là 1 điểm và mỗi bông hoa là 0 điểm, khi đó bài toán trở thành xếp các số vào bảng sao cho tổng mỗi hàng hoặc mỗi cột bằng 2. Gọi $A$: “Tổng mỗi hàng bằng 2” và $B$: “Tổng mỗi cột là 2”. Ta có: $n(A)=n(B)={\left(C_4^2\right)}^4=1296$. Khi đó ta cần tìm số phần tử của tập $A\cup B$. Ta xét biến cố $A\cap B$: “Tổng mỗi hàng và cột bằng 2”. Ta xét các trường hợp hàng ngang thỏa mãn là: Loại $I$: $(1;1;0;0)$, $(0;0;1;1)$. Loại $II$: $(0;1;1;0)$, $(1;0;0;1)$. Loại $III$: $(1;0;1;0)$, $(0;1;0;1)$.

Trường hợp 1: Nếu cộng mỗi cặp cùng loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ bằng 1 nên ta sẽ dùng 2 hàng loại I là $\left(1;1;0;0\right)$, $\left(0;0;1;1\right)$. Xếp 2 hàng $\left(1;1;0;0\right)$ vào 2 trong 4 hàng có $C_4^2$ cách và xếp 2 hàng $\left(0;0;1;1\right)$ vào 2 hàng còn lại có 1 cách. Tương tự với loại $II$ và $III$, trường hợp này ta có $C_4^2\cdot 1\cdot 3=18$ cách.

Trường hợp 2: Nếu cộng 4 cặp khác nhau ở 2 loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ là 2 nên ta sẽ dùng 4 hàng từ 2 loại. Chọn 2 loại từ 3 loại có $C_3^2$ cách. Sau khi chọn được 2 loại, ta sẽ có 4 hàng. Do các hàng đối một khác nhau nên hoán vị hàng có 4! cách. Trường hợp này ta có $C_3^2\cdot 4!=72$.

Vậy các trường hợp của biến cố $A\cap B$ là $18+72=90$. Khi đó, $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)=2502$.

Cách 2: Đặt mỗi ngôi sao biểu diễn bởi số 1 và mỗi bông hoa biểu diễn bởi số 0. Ta sẽ xếp lần lượt từng hàng: Hàng $I$: Chọn vị trí cho 2 số 1 có $C_4^2$ và 2 số 0 vào hai vị trí còn lại có 1 cách, nên hàng $I$ có 6 cách xếp. Hàng $II$ và $III$ ta sẽ xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: Hàng thứ $II$ giống hàng $I$ sẽ có 1 cách xếp. Hàng thứ $III$ do đã có 2 cột đủ số 1 nên hàng thứ $III$ chỉ có 1 cách xếp vào 2 cột còn lại.

Trường hợp 2: Hàng thứ $II$ có vị trí 1 số 1 giống với vị trí của 1 số 1 trên hàng $I$ và số 1 còn lại khác vị trí số còn lại của hàng $I$, lúc này hàng $II$ sẽ có $2\cdot 2=4$ cách xếp. Hàng thứ $III$ phải có 1 số 1 vào cột chưa có số 1 nên có 1 cách. Số 1 còn lại vào 2 cột chỉ có số 1 sẽ có 2, lúc này hàng $III$ sẽ có $1\cdot 2=2$ cách xếp.

Trường hợp 3: Hàng thứ $II$ không có vị trí số 1 trùng vị trí số 1 ở hàng $I$ nên có 1 cách xếp. Do mỗi cột chỉ mới có 1 số 1 nên hàng thứ $III$ xếp bất kì nên hàng $III$ có 6 cách xếp. Hàng $IV$: Hàng thứ $IV$ sẽ điều chỉnh để thỏa theo hàng $I$, $II$ và $III$ nên chỉ có 1 cách xếp.

Vậy có tất cả $6\cdot (1\cdot 1+4\cdot 2+1\cdot 6)\cdot 1=90$ cách xếp thỏa (đây là số cách của $A\cap B$ theo Cách 1).