Tại một công ty xăng dầu, người kĩ sư xây dựng cần thiết kế một bồn chứa xăng hình cầu (như hình vẽ). Trên bản thiết kế, trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, bồn chứa hình cầu $(S)$ có tâm $I(10;16;12)$, bán kính $R=\sqrt{101}$. Mặt đất chính là mặt phẳng $(Oxy)$. Từ điểm $A(5;0;0)$ người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ nhất đi thẳng lên đến mặt cầu tại điểm $B$ thuộc mặt cầu, sao cho cầu thang $AB$ là đường thẳng tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại điểm $B$ (hoành độ điểm $B$ thỏa $x_B>10$). Biết rằng đường thẳng $AB$ tạo với mặt đất $(Oxy)$ một góc nhọn $\alpha$ có $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Sau đó người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ hai có dạng cung tròn đi dọc theo mặt cầu, đi từ điểm $B$ lên tới đỉnh cao nhất của mặt cầu so với mặt đất. Gọi $T$ là tổng độ dài của cả hai cầu thang được thiết kế. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $T$ (không tính kích thước của nguyên vật liệu được sử dụng để làm hai đoạn cầu thang nói trên). *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*