Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{2x+1}$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$ cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm $A,B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

Tại $x_0=-1⟹y_0=\frac{-2-3}{-2+1}=5$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{2(2x+1)-2(2x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{8}{(2x+1{)}^2}$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0=-1$: $k=y^{\prime }(-1)=\frac{8}{(-1{)}^2}=8$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(-1;5)$ là:
$y=8(x+1)+5=8x+13$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$ ($y=0$): $8x+13=0⟹x_A=-\frac{13}{8}⟹OA=\frac{13}{8}$.
- Giao điểm với trục tung $Oy$ ($x=0$): $y_B=13⟹OB=13$.
Diện tích tam giác $OAB$ vuông tại $O$ là:
$S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{13}{8}\cdot 13=\frac{169}{16}$.