Tìm nghiệm phương trình lượng giác $2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$. Đặt $t=\cos x$ với $t\in [-1;1],t\ne 0$.

Phương trình: $2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$.
Nhân hai vế với $\cos x$:
$$(2\cos 2x-8\cos x+7)\cos x=1.$$
Với $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:
$$(4t^2-8t+5)t=1\iff 4t^3-8t^2+5t-1=0.$$
Thử $t=\frac{1}{2}$: $4\cdot \frac{1}{8}-8\cdot \frac{1}{4}+\frac{5}{2}-1=\frac{1}{2}-2+\frac{5}{2}-1=0$, nên $t=\frac{1}{2}$ là nghiệm.
Phân tích: $4t^3-8t^2+5t-1=(2t-1{)}^2(t-1)=0$ (kiểm tra: $(4t^2-4t+1)(t-1)=4t^3-8t^2+5t-1$ ✓).

Suy ra $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=1$ (đều thỏa $t\in [-1;1],t\ne 0$).

- Với $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos x=1\iff x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{2k\pi ;\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.