Tìm nghiệm phương trình lượng giác $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$;

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$. Áp dụng công thức tổng hai cosin $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x-\frac{3\pi }{4}$, $B=x+\frac{\pi }{3}$.

Ta có:
$$\frac{A+B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=x-\frac{5\pi }{24},$$
$$\frac{A-B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)-\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=-\frac{13\pi }{24}.$$

Phương trình trở thành:
$$2\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=0.$$

Vì $\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=\cos \frac{13\pi }{24}\ne 0$ (do $\frac{13\pi }{24}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$), nên:
$$\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)=0\iff x-\frac{5\pi }{24}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{17\pi }{24}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{17\pi }{24}$, ta có $x-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{24}$ và $x+\frac{\pi }{3}=\frac{25\pi }{24}$. Hai góc này lệch nhau đúng $\pi$, nên $\cos \left(-\frac{\pi }{24}\right)+\cos \left(\frac{25\pi }{24}\right)=\cos \frac{\pi }{24}-\cos \frac{\pi }{24}=0$. Thỏa mãn.