Tìm nghiệm phương trình lượng giác $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)-\cos 2x=0$;

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải phương trình $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)-\cos 2x=0$, tức $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos 2x$.

Bước 1: Đưa về cùng một hàm số. Vì $\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, phương trình trở thành:
$$\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right).$$

Bước 2: Giải phương trình dạng $\sin A=\sin B$.

• Trường hợp 1: $A=B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

• Trường hợp 2: $A=\pi -B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2x+2k\pi$$
$$\Rightarrow -x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Bước 3: Kiểm tra lại. Ví dụ với $x=\frac{7\pi }{18}$: $\sin \left(\frac{7\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}\right)=\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)$ và $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{18}\right)=\sin \frac{\pi }{18}$... kiểm tra trực tiếp: $\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)=-\sin \frac{5\pi }{18}$, còn $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\pi -\frac{2\pi }{9}\right)=-\cos \frac{2\pi }{9}=-\sin \frac{5\pi }{18}$. Hai vế bằng nhau, thỏa mãn. Tương tự $x=-\frac{7\pi }{6}$: $\sin \left(-\frac{11\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos \left(-\frac{7\pi }{3}\right)=\cos \frac{7\pi }{3}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
$$S=\left\{\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},-\frac{7\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$